（10）反常积分-免费下载漫画

1、无穷限的反常积分

设函数f(x)在[a,+∞)上连续，取t>a，如果下式极限成立：

则称这个极限是f(x)在[a,+∞)上的反常积分，记作：

既然极限存在，说明这时反常积分收敛，如果极限不存在，则这个反常积分发散。类似的，也有像(-∞,b)这样下限无穷的反常积分，如果是上下限(+∞,-∞)，可以任取一个数把积分拆成(-∞,a)和(a,+∞)，结论类似上式。

        上下限至少有一个发散的反常积分统称为无穷限的反常积分。

2、无界函数的反常积分

        如果上下限并不发散，而是被积函数本身是无界函数，设函数f(x)在某一点a的任一邻域内都无界，那么点a称为f(x)的瑕点，无界函数的反常积分称为瑕积分。如果在瑕点处f(x)极限存在，则有瑕积分：

反之，如果极限不存在，则瑕积分发散。

3、无穷限反常积分的收敛判定

（1）如果被积函数的原函数有界（上限发散看上界，反之看下界），则积分收敛。

（2）比较审敛原理：如果大于等于被积函数的另一个函数反常积分收敛，那么被积函数的反常积分也收敛，如果小于等于被积函数的另一个函数反常积分发散，那么被积函数反常积分也发散。

（3）比较审敛法：设函数f(x)在[a,+∞)上连续，a>0，f(x)≥0，积分上限发散，如果存在正常数M和p(p>1)满足：

则反常积分收敛。如果存在正常数N满足：

则反常积分发散。

（4）极限审敛法：设函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)≥0，如果存在常数p>1满足：

则反常积分收敛，如果：

则反常积分发散。

（5）如果|f(x)|的反常积分收敛（绝对收敛），则f(x)的反常积分也收敛。

4、无界函数的反常积分收敛判定

（1）设函数f(x)在(a,b]上连续，且f(x)非负，a是f(x)的瑕点，如果存在常数M>0和q<1满足：

则反常积分收敛，如果存在常数N>0满足：

则反常积分发散。

（2）设函数f(x)在(a,b]上连续，且f(x)非负，a是f(x)的瑕点，如果存在常数0<q<1满足：

则反常积分收敛，如果：

则反常积分发散。

5、Γ函数

Γ函数定义为：

函数图像如下：

Γ函数可以看作是阶乘向连续的推广，对于正整数n，总有：

Γ函数还有一个余元公式：